ВЕКТОРНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Многие задачи на баллистическое движение решаются быстро и просто, если применить векторный подход к их решению. Для этого формулы записываются в векторном виде, изображаются треугольники векторного сложения скоростей и перемещений:

При построении векторных треугольников скоростей и перемещений учитываем, что вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз, а следовательно вектора gt и gt²/2 также направлены вертикально вниз.

Задача 1.

С поверхности земли под углом a к горизонту выстрелила пушка. Через время t она поразила наземную мишень. Определите дальность полета снаряда. Пушка и ее цель неподвижны и расположены на одном горизонтальном уровне. Сопротивлением воздуха пренебречь. Размеры пушки, ее снаряда и цели не учитывать.

Решение.

Построим треугольник перемещений:

На рисунке видно, что данный треугольник - прямоугольный,  в котором известны угол и противолежащий катет. Найти прилежащий катет, используя значение котангенса угла:

Задача 2.

Мячик бросили со скоростью v₀ под углом к горизонту. В полете он находился время t. Чему равна дальность полета мячика, если точки бросания и приземления находятся на одном горизонтальном уровне? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Построим треугольник перемещений:

В данном прямоугольном треугольнике известны катет и гипотенуза, необходимо найти второй катет. Используем теорему Пифагора:

Задача 3.

С обрыва под углом a к горизонту бросили камушек со скоростью v₀ = 6 м/с. Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость составила v = 8 м/с и была направлена под углом (90⁰ - a) к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Изобразим треугольник скоростей:

Если конечная скорость направлена под углом (90° - a), то легко доказать, что данный треугольник - прямоугольный, в котором известны катеты. И можно найти гипотенузу, используя  теорему Пифагора.

Задача 4.

С обрыва под углом a = 30° к горизонту бросили камушек со скоростью v₀ = 10 м/с. Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость была направлена под углом 60° к горизонту? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение.

Построим треугольник скоростей:

Заметим, что угол между векторами скоростей равен 30° + 60° = 90°, т.е. треугольник является прямоугольным. Причем, один из острых углов (нижний) равен a, а другой (верхний)  - (90° - a). Используя значение косинуса угла, можно найти неизвестный катет:

Задача 5.

Камень бросили со скоростью v₀ под углом a к горизонту. Чему равна дальность его полета, если он летел до падения время t? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение.

Рассмотрим треугольник перемещений:

На рисунке - произвольный треугольник, в котором нужно найти одну из сторон. Для этого можно применить теорему косинусов:

Задача 6.

Камушек бросили со скоростью v₀ под углом a к горизонту. Через какое время  угол между вектором скорости и горизонтом составит угол b? Сопротивлением воздуха пренебречь.

В задаче возможны два решения:  вектор скорости направлен вверх или направлен вниз. В этом случае будут отличаться углы между направлениями скоростей. Изобразим вектор скоростей для случая, когда вектор скорости направлен вниз:

Получился произвольный треугольник, в котором угол между скоростями равен (a - b). В случае, когда скорость направлена вверх, угол между направлениями скоростей будет равен (a + b). Применяем теорему синусов для каждого случая: