Подготовка к ЕГЭ


Тестовая работа от 21.03.13. Задания С2 (механика)

С2. Задача по механике (вариант 1)

На тележке массой М = 400 г, которая может кататься без трения по горизонтальной плоскости, имеется легкий кронштейн, на котором подвешен на нити маленький шарик массой m = 100 г. На тележку по горизонтали налетает и абсолютно упруго сталкивается с ней шар массой М, летящий со скоростью v₀ = 2 м/с. Чему будет равен модуль скорости тележки в тот момент, когда нить, на которой подвешен шарик, отклонится на максимальный угол от вертикали? Длительность столкновения шара с тележкой считать очень малой.

Решение.

Анализируем условие задачи:

1.       Следует разделить два процесса – столкновение тележки с шаром, в результате которого тележка приобретет скорость, и движение тележки, вследствие чего шарик, подвешенный на кронштейне, начнет отклоняться. Это следует сделать, т.к. в тексте указано, что длительность взаимодействия шара с тележкой мала.

2.       Удар абсолютно упругий. Это значит, что и тележка, и шар изменили свою скорость, но суммарная энергия системы «тележка + шар» осталась неизменной.

3.       Шарик, подвешенный на кронштейне, отклонится на максимальный угол, т.е. не будет отклоняться далее, если скорости шарика и тележки будут одинаковыми.

Исходя из анализа, применяем следующие закономерности:

1.       При абсолютно упругом взаимодействии шара и тележки применяем законы сохранения импульса и сохранения энергии:

Таким образом, получается, что после удара шар остановится, а тележка приобретет скорость, равную v₀.

2.       Рассмотрим взаимодействие тележки и шарика, подвешенного на нити. Сразу после удара с шаром тележка, как мы выяснили, приобрела скорость, равную v₀.  Через некоторое время, когда шар перестанет отклоняться, он будет двигаться с той же скоростью, что и тележка. Запишем закон сохранения импульса для этой системы «тележка + шарик»:

Mv₀ = (m + M)v. Отсюда получаем, что v = Mv₀ / (m + M). v = 0,4 ∙ 2 / (0,4 + 0,1) = 1,6 м/с.

С2. Задача по механике (вариант 2)

На тележке массой М = 400 г, которая может кататься без трения по горизонтальной плоскости, имеется легкий кронштейн, на котором подвешен на нити маленький шарик массой m = 100 г. На тележку по горизонтали налетает и абсолютно неупруго сталкивается с ней шар массой М. После столкновения, в тот момент, когда нить, на которой подвешен шарик, отклонилась на максимальный угол от вертикали, скорость тележки была равна v = 4 м/с. Какова была скорость v₀ шара до столкновения? Длительность столкновения шара с тележкой считать очень малой.

Решение.

Данная задача отличается от предыдущей тем, что удар асболютно неупругий, что означает, что шар вместе с тележкой после столкновения стали одним целым, приобретя одинаковую скорость. Но, как и в предыдущей задаче, следует разделить обе ситуации – столкновение шара с тележкой и взаимодействие тележки  с шариком, подвешенным на кронштейне.

1.       При неупругом столкновении шара с тележкой используем закон сохранения импульса:

Mv₀ = 2Mu. Отсюда скорость шара до столкновения v₀ = 2u.

2.       Взаимодействие тележки и шара, подвешенного на нити, описывается законом сохранения импульса: 2Mu = (m + 2M)v. Отсюда скорость тележки до столкновения равна    u = (m + 2M)v / 2M.

В результате имеем: v₀ = (m + 2M)v / M;  v₀ = (2 ∙ 0,4 + 0,2) ∙ 4/ 0,4 = 10 м/с.