1. На работу! Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и то же время, и в то же время за ним с завода приезжала машина, на которой он ехал на этот завод работать. Однажды инженер приехал на станцию на 55 мин раньше обычного, сразу пошел навстречу машине и приехал на завод на 10 мин раньше обычного. Какова скорость машины, если скорость инженера 5 км/ч?
1. Так как в этом случае инженер приехал на завод на 10 мин раньше (а машина выехала как обычно), то машина проехала бы путь от места встречи до станции за 5 мин. 2. Инженер пешком это же расстояние прошел за 50 мин (он прибыл на станцию на 55 мин раньше, чем пришла бы машина). 3. Таким образом, одно и то же расстояние (от станции до места встречи) машина проехала, затратив в 10 раз меньше времени, чем инженер. Следовательно, ее скорость в 10 раз больше, т.е. равна 50 км/ч.
2. Система в механическом равновесии Система состоит из двух однородных стержней, трех невесомых нитей, одна из которых перекинута через неподвижный блок. Трение в оси блока отсутствует, а все нити вертикальны. Масса верхнего стержня m1 = 0,5 кг. Определите массу m2 нижнего стержня.
1. Расставим силы, действующие на каждый из стержней. Учтем, что силы, приложенные в одной точке, одинаковы. И неподвижный блок не дает выигрыша в силе, поэтому силы, действующие на нить, перекинутую через блок, с обоих сторон так же одинаковы. 2. Оба стержня находятся в равновесии, не вращаясь. И оба стержня не перемещаются, оставаясь в покое. Потому применяем сначала правило моментов для каждого стержня. Т.к. стержни находятся в покое, то равнодействующая приложенных сил равна 0.
3. Сообщающиеся сосуды В U-образную трубку наливают воду так, чтобы расстояние от уровня воды до верха трубки было 40 см. В одно колено трубки доливают доверху масло. На сколько поднимется уровень воды во втором колене трубки? Плотность масла 800 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3.
1. Расстояние между уровнями 1 и 2 равно 40 см. Когда в левое колено доливают масло, уровень воды в нем опускается на расстояние х (расстояние между уровнями 2 и 3). В правом колене вода на столько же поднимается, т.к. жидкости несжимаемы и объем воды, вышедший из левого колена, равен объему воды, перешедшему в правое колено (сечения трубок одинаковы). 2. По закону Паскаля давление на одном уровне должно быть одинаковым. Выясним давление в каждом колене на уровне 3:
4. Система в тепловом равновесии. В стакан налита вода при комнатной температуре 20°С до половины объема. Потом в этот стакан доливают еще столько же воды при температуре 30°С. После установления теплового равновесия температура в стакане оказалась равной 23°С. В другой такой же стакан наливают воду при температуре 20°С до 1/3 объема и доливают горячей воды с температурой 30°С доверху. Какая температура установится в этом стакане? Потерями тепла за время установления равновесия пренебречь.
1. Обозначим: С - теплоемкость стакана, с - теплоемкость воды, t0 = 20оС, t = 30оС, t1 = 23оС, t2 - искомая величина. 2. Запишем уравнения теплового баланса для каждого случая:
5. Расход топлива Расход топлива в автобусе (a) зависит от его скорости (v) так, как показано на первом графике. Из города А в город В автобус движется в соответствии с графиком движения (второй график). Узнайте, получится ли у водителя доехать до пункта назначения без дозаправки, если в баке у машины 25 л топлива?
Определим по первому графику расход топлива при скоростях 20 км/ч и 80 км/ч. Так как зависимость расхода топлива от скорости линейная, то справедливы пропорции: Учтем, что со скоростью 80 км/ч автобус проехал 80 км, на которые истратил объем бензина V1 = a1s1 = (11/60) · 80 = 44/3 л. Со скоростью 20 км/ч автобус проехал 40 км, на которые истратил V2 = a2s2 = (13/60) · 40 = 26/3 л. Всего автобус израсходовал 70/3 л, что меньше 25 л. Поэтому топлива хватит на проезд до пункта назначения без дозаправки.
6. Воздушный шар Аэронавт, путешествуя на воздушном шаре, внезапно увидел, что равномерно движется вниз. Тогда он сбросил 60 кг балласта, припасенного как раз для этого случая. Воздушный шар после освобождения от балласта стал подниматься вверх с вдвое меньшей скоростью. Считая силу сопротивления воздуха прямо пропорциональной скорости шара, определите эту силу во время спуска.
Расставим силы, действующие на воздушный шар, когда он летит вверх и вниз: Так как в обоих случаях движение равномерное, то равнодействующая всех приложенных сил равна нулю. Тогда для движения вниз имеем Fсопр + Fарх = m1g, а для движения вверх Fарх = m2g + Fсопр/2. Здесь мы учли, что архимедова сила не меняется (плотность воздуха и объем шара одинаковы), а сила сопротивления при движении вверх станет в 2 раза меньше, т.к. по условию она пропорциональна скорости движения и скорость при движении вверх в 2 раза меньше, чем при движении вниз. Сброшенный груз имеет массу m1 - m2, то получаем, что 3/2 Fсопр = (m1 - m2)g. Отсюда Fсопр = 400 Н.
7. Равновесие рычага Однородный ровный стальной прут длиной 1 м согнули пополам под углом 90°. На каком расстоянии от вершины прямого угла нужно подвесить прут, чтобы стороны получившегося угла были ориентированы по вертикали и горизонтали?
Представим стержень как две материальные точки массами m (массы одинаковы, т.к. стержень по условию согнули пополам), расположенные в центрах обеих частей стержня Получился рычаг, на плечи которого действуют равные силы. Для равновесия плечи этих сил должны быть равны, то есть L/2 - x = x, x = L/4, x = 1/4 = 0,25 м.
8. Кипятильник Электрическим кипятильником мощностью 500 Вт нагревают воду в кастрюле. За 2 мин температура воды увеличилась от 85°С до 90°С. Затем кипятильник отключили и за 1 мин температура воды упала на 1°С. Сколько воды находилось в кастрюле?
Будем считать, что температура воздуха в комнате была гораздо ниже рассматриваемых в задаче, потому можно считать тепло, уходящее от кастрюли в комнату за единицу времени (мощность отвода тепла Nпотерь), постоянная величина. Кроме того, будем пренебрегать теплоемкостью кастрюли. Тогда при нагреве воды электрическим нагревателем баланс будет выражаться: а после отключения кипятильника уравнение теплового баланса будет: Исключая из уравнений мощность потерь, получаем:
