1. Движение заряда в электрическом поле. Две бесконечные плоскости пересекаются под прямым углом. На каждой из них равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью. Посередине линии АВ расположен точечный заряд массой m и таким же по знаку зарядом q. Заряду сообщаются скорость v параллельно одной из плоскостей. В какой точке заряд вновь пересечет линию АВ? Заряд не сталкивается с плоскостью.
Суммарное поле является суперпозицией полей, создаваемых каждой плоскостью. Оно однородно, направлено под углом 45о к горизонтали. Напряженность этого поля равна Заряженная частица движется в этом поле с ускорением a = qE/m точно так же, как тело, брошенное под углом 45о к горизонту. Только роль горизонта в данном случае выполняет линия АВ. Пользуясь аналогией с баллистическим движением и учитывая, что дальность полета для угла 45о равна L = v2/g, находим, что заряд пересечет линию АВ в точке, отстоящей от старта на расстоянии
2. График процесса, происходящего с идеальным газом С идеальным газом совершают процесс, показанный на pV-диаграмме. Получает или отдает газ тепло при прохождении точек, в которых являются минимальными: а) давление; б) температура; в) объем?
Выясним, в каких точках будут минимальными давление, объем, температура. Очевидно, что касательная, проведенная через точку 1, является изобарой для минимального давления; касательная, проведенная через точку 2, является изохорой для минимального объема. Гиперболы, касательные к окружности в точках 3 и 4, являются изотермами. Минимальной температуре соответствует изотерма, проведенная через точку 3. Тогда в окрестностях этих точек процессы можно считать соответственно 1 - изобарный, 2 - изохорный, 3 - изотермический. При изобарном процессе Направление цикла в точке 1 таково, что температура уменьшается (с переходом с более высокой изотермы на более низкую). Потому газ отдает теплоту. В изохорном процессе Направление цикла в точке 2 такого, что температура увеличивается (с переходом с более низкой изотермы к более высокой). Поэтому газ получает теплоту. В изотермическом процессе следуем направлению обхода. В этом случае объем газа уменьшается, т.е. происходит сжатие. Работа газа в этом случае отрицательна, изменение внутренней энергии равно нулю, по первому закону термодинамики Q = A. Значит, газ отдает теплоту. Т.о., в случаях а) и б) газ отдает теплоту, в случае в) - получает.
3. Мишень. На гладкой горизонтальной поверхности лежит мишень массой 9 кг. С интервалом t = 1 с в нее попадают и застревают 4 пули, первая из которых летит с юга, вторая - с запада, третья - с севера, четвертая - с востока. На сколько метров и в какую сторону сместится в итоге мишень? Масса каждой пули 9 г, скорость 200 м/с.
Данная задача решается с помощью закона сохранения энергии. Данный закон можно рассматриваться "по осям" (для каждой проекции импульса отдельно). Поскольку m << M, то можно пренебречь изменением массы мишени при попадании в нее пуль. Направление полета первой пули примем за направление оси Ох. Первая пуля сообщает мишени скорость mv/M, которая через 2 с погасится третьей пулей. Разгон и торможение мишени при этом будем считать мгновенным, поэтому движение мишени можно считать равномерным на промежутке времени 2t. Аналогичная ситуация будет со второй и четвертой пулями, движение которых можно рассматривать по оси Oy. Чтобы найти результирующее смещение мишени, нужно использовать теорему Пифагора:
4. Электрические цепи. Две электрические цепи состоят из резисторов с известным сопротивлением R и 2R и неизвестным сопротивлением r. При каком сопротивлении r сопротивления обеих цепей окажутся одинаковыми и каково при этом полное сопротивление цепи?
Найдем полное сопротивление обеих цепей и приравняем их: Приведя данное уравнение к общему знаменателю, приведя подобные, получим квадратное уравнение r2 - rR - 2R2 = 0. Его решением является r = 2R. Используя левую или правую часть исходного уравнения, находим значение общего сопротивления цепи Rобщ = 2R.
5. Перемычка в магнитном поле. По двум параллельным металлическим направляющим, наклоненным под углом a к горизонту и расположенным на расстоянии b друг от друга, может скользить без трения металлическая перемычка массой m. Направляющие замкнуты снизу на незаряженный конденсатор емкостью С, и вся конструкция находится в магнитном поле, индукция которого В направлена вертикально вверх. В начальный момент времени перемычку удерживают на расстоянии L от основания горки. Определите время, за которое перемычка достигнет основания горки после того, как ее отпустят. Какую скорость она будет иметь у основания? Сопротивлением направляющих и перемычки пренебречь.
При движении перемычки происходит изменение магнитного потока, поэтому возникает ЭДС индукции. Движение перемычки равноускоренное, поэтому значение ЭДС (а соответственно и напряжение на конденсаторе) изменятся. Поэтому, несмотря на разрыв цепи (наличие конденсатора) в контуре будет существовать ток зарядки конденсатора. Этот ток будет причиной возникновения силы Ампера, тормозящей перемычку. Значение ЭДС находим, используя закон электромагнитной индукции: Используя определение силы тока I = q/t и связь между зарядом и емкостью конденсатора C = q/U, найдем значение силы тока Видим, что сила тока пропорциональна ускорению перемычки. Используем формулу для нахождения силы Ампера FA = BbI cosa, найдем ее: Используем второй закон Ньютона, выбрав за ось Ох направление движения перемычки:
6. Тележка По длинной тележке массой M может свободно скользить трамплин такой же массы M, внешняя рабочая поверхность которого представляет собой четверть цилиндра радиусом R. Первоначально вся конструкция неподвижна. С верхней части трамплина без начальной скорости пускают маленький шарик, масса которого m значительно меньше массы трамплина и тележки (m << M). В конце тележки установлен точечный таймер-датчик Д, фиксирующий время пребывания на ней тела. Какую скорость приобретет трамплин сразу после первоначального скатывания с него шарика? Определите показания датчика-таймера, если известно, что шарик после многократных упругих ударов о стенку тележки так с нее и не слетел. Трения нет, шарик не вращается.
Рассмотрим момент, когда шарик скатился с трамплина, но еще не ударился о тележку. Применяем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса для системы шарик и трамплин: , Решая систему этих уравнений, находим скорость трамплина сразу после первоначального скатывания с него шарика. Кроме того, учитывая, что m << M, то можно заменить (m + M) на M. Т.к. шарик с тележки не упал, то конечные скорости шарика и тележки равны. Применяем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса для системы шарик, трамплин и тележка в конечный момент времени перед падением трамплина с тележки: , Решая систему этих уравнений, находим конечные скорости тележки и трамплина. Снова учитываем, что m << M: Т.о. получилось, что эти скорости приблизительно одинаковы. Тогда скорость трамплина относительно датчика-таймера равна Находим время движения, т.е. показания датчика-таймера:
7. Взрыв в банке Внутри очень жесткой и крепкой герметичной теплопроводящей банки находится беспроводной искровой детонатор, а также одинаковое количество молекул кислорода и водорода. Данная банка очень долго плавает в состоянии безразличного равновесия внутри стоградусной воды. После срабатывания детонатора в банке произошел взрыв (окисление водорода с образованием воды без образования пероксида водорода). Начнет ли всплывать банка после детонации? Сможет ли давление внутри банки стать равным первоначальному через длительный промежуток времени? Предположим стало известно, что через длительный промежуток времени после детонации давление стало равно половине первоначального давления, то можно ли найти первоначальное давление?
По условию задачи банка находится в воде в состоянии безразличного равновесия. Это означает, что тело плавает внутри жидкости. Следовательно, После детонации объем банки не поменялся, т.к. она очень жесткая и крепкая. Масса так же не поменялась, т.к. банка герметичная. Следовательно, плотность банки не изменилась. А значит, банка останется в состоянии безразличного равновесия внутри воды. До взрыва внутри банки была смесь двух газов. По закону Дальтона При взрыве образуется вода из одного атома кислорода и двух атомов водорода. Следовательно, при взрыве израсходуется половина молекул кислорода, а молекул воды станет столько же, сколько было молекул водорода. Тогда По закону Дальтона для смеси газов через длительный промежуток времени после взрыва будет давление Применим уравнение Менделеева-Клайперона для состояния до и после взрыва: Т.о. даже если через длительное время все молекулы воды будут находиться в газообразном состоянии, то все равно начальное давление больше конечного. Рассмотрим теперь случай, когда давление газов внутри банки через длительный промежуток времени после взрыва стало в 2 раза меньше первоначального. Применим уравнение Менделеева-Клайперона: Это означает, что половина воды сконденсировалась. Вторая половина воды в виде насыщенного пара давит на стенки сосуда, причем при стоградусной температуре давление насыщенных паров воды равно атмосферному. Из уравнения Менделеева-Клайперона для насыщенного пара найдем первоначальное количество вещества одного из газов: При подстановке получаем, что начальное давление равно 4 · 105 Па.
8. Проводник на рельсах Два проводящих горизонтальных рельса с пренебрежительно малым сопротивлением соединены одним концом так, что образуют угол 2a. Под действием неизвестной горизонтальной переменной силы по этим рельсам поступательно скользит горизонтально расположенный длинный проводник с большим удельным сопротивлением, причем скорость этого проводника всегда направлена вдоль перпендикуляра, опущенного из вершины угла на проводник, постоянна и равна v. Площадь поперечного сечения проводника равна S0. Найти ЭДС индукции, возникающей в контуре. Определить величину и направление индукционного тока. Определить зависимость силы Ампера, действующей на проводник от расстояния х, на которое переместился проводник, если магнитное поле с индукцией В вертикально.
Т.к. проводник и рельсы образуют замкнутый контур, а при движении его площадь меняется со временем, то в этом контуре наблюдается явление электромагнитной индукции. По закону ЭМИ в нем возникает ЭДС индукции, равное Площадь контура находим по формуле S = x2 sina. Т.к. проводник движется с постоянной скоростью v, то x = vt. Поэтому Исходя из этого, площадь контура за малый промежуток времени изменится на величину, равную Индукционный ток можем определить, используя закон Ома для участка цепи и формулу для расчета сопротивления проводника: Направление индукционного тока определяем по правилу левой руки. Ток направлен против часовой стрелки. Сила Ампера, действующая на проводник, равна По правилу левой руки сила Ампера направлена влево.
9. Вольтметры и амперметры Напряжение источника U = 5,75 В. В схеме использованы одинаковые амперметры и вольтметры. Сопротивление вольтметра равно RV = 250 Ом, амперметра RA = 50 Ом. Найдите показания всех приборов.
Т.к. точки А и В соединены, то в этих точках одинаковый потенциал. Следовательно, ток через провод АВ не идет. Тогда эквивалентная схема будет иметь вид: Перенумеруем приборы. Видно, что в левой части параллельно соединенные вольтметр и амперметр. Тогда сопротивление левой части равно В правой части в каждой ветке соединены последовательно амперметр и вольтметр. Обе ветки имеют одинаковое сопротивление и соединены параллельно. Тогда сопротивление правой части равно R2 = (RV + RA)/2; R2 = 150 Ом. Полное сопротивление цепи R = R1 + R2; R = 575/3 Ом. Общая сила тока по закону Ома равна I = U/R; I = 0,03 А. Напряжение в левой части равно U1 = I ·R1; U1 = 1,25 В. Таким образом первый вольтметр показывает 1,25 В. Определим показания второго амперметра (напряжение на нем так же 1,25 В): I2 = U1/RA; I2 = 0,025 А. Напряжение в правой части равно U' = U - U1; U' = 5,75 - 1,25 = 4,5 В. Сила тока в ветвях правой части одинакова. Поэтому токи через амперметры и вольтметры равны I4 = I6 = I/2 = 0,015 А. Это и есть показания правых амперметров. Напряжения на 3-м и 5-м вольтметрах находим, используя закон Ома: U3 = U5 = I4 ·RV; U3 = U5 = 3,75 В.
10. Сфера и шарик К небольшому заряженному шарику, висящему на невесомой и нерастяжимой нити длиной L очень медленно подносят заряженную сферу с зарядом Q так, что центр сферы и шарика находятся на одной горизонтали. Когда центр сферы оказался точно под точкой подвеса нити, то нить с шариком отклонилась от вертикали на угол 60°. Найдите величину заряда шарика.
Сделаем рисунок, изобразив все силы, действующие на шарик: Т.к. шарик находится в покое, то применяем первый закон Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления: Шарик и сфера отталкиваются с силой Из этих соотношений находим: Отсюда выражаем заряд шарика: Для угла 60° получаем
11. Цепочка в трубке Две одинаковые однородные цепочки из массивных шариков прикреплены концами к потолку и проходят через две невесомые коленчатые трубки, скрепленные между собой. Входные и выходные колена трубок вертикальны, между ними длинные горизонтальные участки. С каким ускорением опускаются трубки? Трения и потерь энергии нет.
Пусть трубки за время t опустились на высоту h. В результате потенциальная энергия шариков перешла в кинетическую энергию. Причем, шарики в этот момент времени обладают вертикально направленной скоростью и такой же по величине горизонтально направленной скоростью. Тогда по закону сохранения энергии В результате трубка за это время опустилась на расстояние h, приобрела скорость v и ускорение a.
12. Сосуд с перегородкой Запаянный горизонтальный цилиндрический сосуд длиной 80 см разделен на две части подвижной перегородкой. С одной стороны от перегородки содержится 2 моля кислорода и 3 моля гелия, с другой - 3 моля азота и 1 моль гелия, а перегородка находится в равновесии. В некоторый момент времени перегородка становится проницаемой для гелия и остается непроницаемой для кислорода и азота. Найти смещение перегородки. Температуры газов одинаковы и не меняются в течение процесса.
1) Рассмотрим состояние газов до того, как перегородка стала проницаемой. Пусть х1 и х2 - длины левой и правой частей сосуда. Используя уравнение Клайперона-Менделеева и закон Дальтона для нахождения давления смеси газов, найдем давление в каждой части сосуда: 2) Когда перегородка становится проницаемой для гелия, он равномерно распределяется по всему сосуду. И тогда поршень будет находиться в равновесии при условии равенства давлений азота и кислорода:
13. Заряженное тело на сфере Небольшое тело массой 1,4 г соскальзывает из состояния покоя с вершины гладкой сферы радиуса 60 см. На теле и в центре сферы размещают одинаковые по величине разноименные заряды, чтобы тело не отрывалось от поверхности сферы, пока не окажется на высоте R/2 от поверхности стола. Какова величина этих зарядов?
1) Возьмем за нулевой уровень высоты расстояние R/2 от поверхности стола. Тогда в верхней точке тело будет обладать потенциальной энергией тела, поднятого на высоту 3R/2, и потенциальной энергией электрического взаимодействия. В нулевом уровне высоты тело будет обладать кинетической энергией и потенциальной энергией электрического взаимодействия. По закону сохранения энергии: 2) В точке отрыва сила реакции опоры будет равна 0. Изобразим силы, действующие на тело в этой точке:
,
,
