ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ (ЛИНЗЫ)
Некоторые задачи перемещение линз или предметов решаются быстро и просто, если применить графический метод, при котором строится график зависимости увеличения от расстояния до линзы Г(d). Для построения графика установим эту зависимость.
Собирающая линза.
А) Расстояние от линзы до предмета меньше фокусного. В этом случае линза дает мнимое, прямое и увеличенное изображение. Воспользуемся формулой тонкой линзы для этого случая и формулой увеличения.
Графиком этой функции является часть гиперболы. Причем, при d = 0 Г = 1.
Б) Расстояние от линзы до предмета больше фокусного. В этом случае линза дает действительное и обратное изображение. Причем, при F < d < 2F изображение увеличенное, а при d > 2F изображение уменьшенное. Аналогично используем формулу линзы и формулу увеличения
Графиком этой функции является часть гиперболы. Причем, при d = 2F Г = 1.
2. Рассеивающая линза. Она дает всегда мнимое, уменьшенное и прямое изображение. Воспользуемся формулой тонкой линзы в этом случае и формулой увеличения.
Графиком этой функции является гипербола. Причем при d = 0 Г = 1
Задача 1.
Тонкая линза создает изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Если расстояние от предмета до линзы увеличить вдвое, то получается перевернутое изображение предмета с увеличением, вдвое большим первоначального увеличения. С каким увеличением изображался предмет вначале?
Построим график зависимости Г(d):
Из графика можно сделать вывод, что первоначально изображение было прямое и мнимое, а после перемещения предмета – действительное и обратное.
Воспользуемся формулами для каждого случа
Задача 2.
Тонкую линзу, создающую действительное изображение предмета, передвинули на расстояние, равное 0,5 F. При этом получилось мнимое изображение того же размера. Найти величину поперечного увеличения.
Построим график зависимости Г(d)
Воспользуемся условием задачи и формулами зависимости Г(d) в каждом случае:
Для тонких линз справедливы следующие утверждения:
Оптическая сила близко расположенных друг к другу двух линз равна D = D1 + D2
Если к линзе приложить близко плоское зеркало, то фокусное расстояние этой системы будет равно F/2.
Задача 3.
С помощью линзы с фокусным расстоянием 60 см получено действительное изображение предмета, расположенного перпендикулярно ее главной оптической оси. Если вплотную к данной линзе приложить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием 2F, то размер изображения предмета в системе не изменится. На каком расстоянии от линзы находится предмет?
Система двух линз эквивалента линзе, оптическая сила которой равна
Т.е. полученная эквивалентная линза – собирающая с фокусным расстоянием 2F. Построим в одной системе координат графики зависимости для обоих случаев:
Из графика видно, что первоначально линза давала действительное изображение, а система линз дает мнимое изображение такого же размера. Воспользуемся формулами зависимости Г(d) для обоих с
Задача 4.
К тонкой линзе с фокусным расстоянием F вплотную прижато плоское зеркало. Эта система создает изображение предмета. Если, не меняя взаимного расположения линзы и предмета, убрать зеркало, то линза создает изображение предмета с тем же увеличением, что и раньше. Определите расстояние от предмета до линзы.
Система линзы и зеркала эквивалентна собирающей линзе с фокусным расстоянием F/2. Построим в одной системе координат графики зависимости Г(d) для обоих случаев:
Из графика видно, что система линза + зеркало давала действительное изображение, а линза без зеркала – мнимое изображение такого же размера. Воспользуемся формулой зависимости Г(d) для обоих случаев:
В задачах, где используется система линзы и уголкового отражателя, нужно учитывать, что падающий на отражатель луч, выходит из него параллельно падающему лучу. А также, что точка, находящаяся на ГОО, отражается в зеркале симметрично углу отражателя.
Задача 5.
Узкий луч, параллельный оптической оси на расстоянии d падает на систему линза + уголковый отражатель, расположенный на расстоянии ℓ = 1,5 F от линзы. Под каким углом луч выйдет из системы?
Построим луч SВ, параллельный главной оптической оси. После преломления в линзе он пройдет через задний фокус линзы. Далее используем следующие факты:
- точка на ГОО отображается в уголковом отражателе симметрично;
- луч, отраженный от уголкового отражателя, параллелен лучу, падающему на него, и проходит через симметричную точку за зеркалом.
Т.о. отраженный луч проходит через задний двойной фокус и параллелен лучу ВF. А, следовательно, при дальнейшем преломлении луча в линзе луч пересечет ГОО в переднем двойном фокусе.
Искомый угол равен по построению углу BFO:
Задача 6.
Узкий луч, проходит через центр рассеивающей линзы под малым углом α и отражается от уголкового отражателя, расположенного на расстоянии ℓ = ½ F от линзы. Под каким углом луч выйдет из системы.
Выполним построения:
- точка О отобразится в уголковом отражателе симметрично в точку О1. С точки зрения симметрии эта точка находится на расстоянии F от линзы.
- отраженный от второй грани зеркала луч пройдет через точку О1 параллельно падающему лучу.
Выясним, как выйдет из линзы преломленный луч. Для этого используем формулу тонкой линзы:
Исходя из этого, строим преломленный луч, выходящий из точки F/2 за линзой.
Из чертежа следует, что преломленный луч будет составлять с ГОО угол, в 2 раза больший падающего, т.е. равен 2α.
Если бы линза была собирающей, то преломленный луч вышел бы из линзы параллельно главной оптической оси (т.к. точка О1 лежит в фокусе),а, значит, угол равнялся бы
Формула Ньютона:xy = F2, где x– расстояние от предмета до переднего фокуса, y – расстояние от изображения до заднего фокуса, если линза собирающая; для рассеивающей – наоборот.
Задача 7.
Предмет и его изображение расположены симметрично относительно фокуса линзы. Расстояние от предмета до фокуса линзы ℓ = 4 см. Найдите фокусное расстояние линзы.
Изображение и предмет могут быть расположены симметрично относительно фокуса в случае, если изображение мнимое. Для собирающей линзы мнимое изображение находится дальше от линзы, чем предмет. На основании этого делаем чертеж:
x - расстояние от точки S до переднего фокуса, т.е. по условию x = L
y– расстояние от точки S1 до заднего фокуса, т.е. по рисунку y = L + 2F
