Механика - 1

Задача 1.

Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время τ = 1 с, а такой же последний – за время  τ/2. Найдите полное время падения t, если начальная скорость тела равна нулю.

Решение

Рассмотрим пространственно-временное представление движение тела:

По рисунку и условию задачи: y₁ – y₀ = y₄ – y₃. Т.к. движение – свободное падение, то уравнение  имеет вид

Подставляем в уравнение:

Преобразовываем и раскрываем скобки. Получаем:

Задача 2.

Шарик массой m = 0,1 кг на нити длиной L = 0,4 м раскачивают так, что каждый раз, когда шарик проходит положение равновесия, на него в течение короткого промежутка времени t = 0,01 с действует сила F = 0,1 Н, направленная параллельно скорости. Через сколько полных колебаний шарик на нити отклонится на 60°?

Решение

1.       Колебания маятника. По условию тело получает импульс при прохождении положения равновесия. За одно колебание это происходит дважды.

2.        На шарик действует в течение небольшого промежутка времени сила. Импульс силы связан с изменением импульса тела.

3.       При отклонении шарика на некоторый угол происходит превращение кинетической энергии в потенциальную согласно закону сохранения энергии.

1.       Число полных колебаний в два раза больше импульса силы

2.       За это время шарик получил импульс силы, равный 2N Ft = mv (начальная скорость равна 0), откуда можно найти количество полных колебаний:

3.       Применяем закон сохранения энергии

4.       Нить составляет с вертикалью угол α. По рисунку находим высоту:

Находим скорость, приобретенную шариком:

Находим искомую величину:

Задача 3.

На космическом аппарате, находящемся вдали от Земли, начал работать реактивный двигатель. Из сопла ракеты ежесекундно выбрасывается 2 кг газа (Δm/Δt = 2 кг/с) со скоростью v = 500 м/с. Исходная масса аппарата М = 500 кг. Какую скорость приобретет аппарат, пройдя расстояние  S = 36 м? Начальную скорость аппарата принять равной нулю. Изменением массы аппарата за время движения пренебречь.

Решение.

1.       В условии указана величина выброса газа за 1 с. Нужно найти массу всего вышедшего газа.

2.       Ракета и газы взаимодействуют друг с другом. Т.к. первоначально они находились вдали от Земли и двигатель не работал, то скорости обоих тел до взаимодействия равны 0.

3.       В результате истечения газов ракета движется равноускоренно.

1.       Масса исходящего за некоторое время t газа равна

2.       Взаимодействие тел описывается законом сохранения импульса системы тел: 0 = mv – Mu, где M – масса ракеты, u – приобретенная за время t скорость ракеты.

3.       Движение ракеты равноускоренное. Ускорение, приобретенное ракетой за время t, равно

Зная пройденный путь, находим приобретенную ракетой скорость: